Problema 6: Exercicis d’optimització.

a) De tots els rectangles de perímetre P determineu el que tinga mínima diagonal.

b) Determineu el rectangle d’àrea màxima inscrit en un triangle isòsceles de base a i de costats iguals b (la base del rectangle es troba en el costat desigual del triangle isòsceles).

Solució:

a)

Siga KLMN un cuadrat de perímetre P

Siguen , els costats del rectangle.

, aleshores, (1)

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle rectangle , la diagonal del rectangle és:

Substituint l’expressió (1):

.

Siga , .

La funció g(a) és contínua i creixent

El mínim de la funció D(a) s’assoleix en el mínim de la funció f(a).

La funció f(a) és una paràbola còncava, el seu mínim s’assoleix en el vèrtex, és a dir, quan , aleshores, .

En aquest cas KLMN és un quadrat.

Amb Cabri:

Figura `prob6a.fig`

Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava

b)

Siga el triangle isòsceles , , .

Considerem el rectangle PQRS.

Siga , .

.

L’àrea del rectangle PQRS és:

.

Els triangles , són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

.

Aïllant la incògnita y:

.Substituint en la funció àrea:

.

Aquesta funció és una paràbola convexa, el màxim s’assoleix en el vèrtex de la paràbola, és a dir, quan .

Les mesures del rectangle són, , , és a dir, el costat és la meitat de la base i l’altura la meitat de l’altura del triangle isòsceles.

Amb Cabri:

Figura `prob6b.fig`

Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior