Problema 10: nombre d’or 2.

Siga el triangle equilàter .

Siguen L, M els punts migs dels segments AB, AC, respectivament.

Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle .

La recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y.

Proveu que

Solució 1: (Amb coordenades cartesianes).

Considerem El triangle , tal que B(0,0), C(2,0).

Per ser el triangle equilàter

Les coordenades dels punts L, M són:

Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle de centre O i radi R

El centre O té coordenades

El radi de la circumferència circumscrita C1 és:

L’equació de la circumferència C1 és:

L’equació de la recta r que passa pels punts L, M és:

Les interseccions de la circumferència C1 i la recta r són:

,

. . .

Aleshores: .

Demostració 2 trigonomètrica:

Considerem el triangle de costat

Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle .

Aleshores .

Considerem el triangle

Per la propietat del baricentre del triangle :

. .

L’angle .

Considerem el triangle

Aplicant el teorema del cosinus al triangle .

.

. Simplificant:

. Aleshores,

Amb Cabri:

Figura `prob10.fig`

Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior