Problemes de Geometria

Castelló 2008

Problema 1. Un quadrat i dos triangles equilàters ABDE és un quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters. Demostreu que els punts A, F et C són alineats. Construcció Solució
Problema 2: Un quadrat, un triangle equilàter i un cercle. Un triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat ABCD de costat 1 com mostra la figura. Si una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle. Construcció Solució
Problema 3: Resolució de triangles. a) Resoleu el triangle coneguts . b) Resoleu el triangle coneguts . Construcció Solució
Problema 4: propietat de l’ortocentre Siga el triangle acutangle . Siguen , , les altures del triangle. Siga H l’ortocentre. Demostreu que . Construcció Solució
Problema 5: Relació entre les altures i radi de la circumferència inscrita d’un triangle. Considerem el triangle , siga r el radi de la circumferència inscrita. Siguen les 3 altures del triangle. Aleshores: . Construcció Solució
Problema 6: Exercicis d’optimització. a) De tots els rectangles de perímetre P determineu el que tinga mínima diagonal. b) Determineu el rectangle d’àrea màxima inscrit en un triangle isòsceles de base a i de costats iguals b. Construcció Solució
Problema 7: Heptàgon regular. Siga ABCDEFG un heptàgon regular. Proveu que Construcció Solució
Problema 8: Dos quadrat en un cercle. Un quadrat de costat a està inscrit en una circumferència. Determineu el costat del quadrat inscrit en un dels segments circulars obtinguts. Shariguin I60. Construcció Solució
Problema 9: nombre d’or 1. Siga M el punt mig del costat del quadrat ABCD. La recta MD talla el cercle de diàmetre en el punt P. Proveu que . Construcció Solució
Problema 10: nombre d’or 2. Siga el triangle equilàter . Siguen L, M els punts migs dels segments AB, AC, respectivament. Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle . La recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y. Proveu que . Construcció Solució
Problema 11: Oposicions de secundària 1. Determineu l’envolupant de la família de rectes que formen amb els eixos coordenats triangles d’àrea constant S. Oposicions de Castella la Manxa 2006. Construcció Solució
Problema 12: Oposicions de secundària 2. En un triangle rectangle , , siga l’altura, siga la bisectriu i E la intersecció de , . Proveu que: a) El triangle és isòsceles. b) . Oposicions València 2005. Construcció Solució

Pàgina inicial