Problema 12: Oposicions de secundària 2.

En un triangle rectangle , , siga l’altura, siga la bisectriu i E la intersecció de , . Proveu que:

a) El triangle és isòsceles.

b) .

Oposicions València 2005

Solució:

a)

, .

(angles oposats pel vèrtex).

. .

Aleshores, , per tant, és isòsceles, .

b)

Aplicant raons trigonomètriques al triangle rectangle :

.

Aplicant la propietat de la bisectriu al triangle :

, aleshores, .

Aplicant el teorema del cosinus al triangle :

.

. .

.

Vegem que . Siga la funció, tal que , .

Vegem que la funció és creixent en aquest interval.

, quan .

El màxim s’assoleix quan .

.

Aleshores, . Per tant, .

Amb Cabri:

Figura `prob12.fig`

Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró User with CabriJava

Pàgina anterior