Problema 1. Un quadrat i dos triangles equilàters

ABDE és un quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters.

Demostreu que els punts A, F et C són alineats.

Solució 1:

A, F, C són alineats si l’angle és pla.

El triangle és isòsceles.

, per tant, .

El triangle és isòsceles.

, per tant,

L’angle

Per tant,

Solució 2:

Considerem el sistema de referència cartesià:

Els punts A, F, C són alineats si els vectors són proporcionals.

Les coordenades dels punts E, D, B, A són

Utilitzant el teorema de Pitàgores les coordenades del punt F són

Utilitzant el teorema de Pitàgores les coordenades del punt C són

Calculem les coordenades dels vectors

Dividim les coordenades dels dos vectors:

Per tant els dos vectors són proporcionals.

Solució 3:

Considerem el sistema de referència cartesià:

Determinem la recta r que passa pels punts A, C. Els punts A, F, C estan alineats si el punt F pertany a la recta r.

Les coordenades dels punts E, D, B, A són

Utilitzant el teorema de Pitàgores les coordenades del punt F són

Utilitzant el teorema de Pitàgores les coordenades del punt C són

La recta que passa pels punts té per equació:

Vegem si el punt pertany a la recta:

Per tant F pertany a la recta r i els 3 punts són alineats.

Solució 4:

Els punts A, F, C són alineats si les imatges per una rotació de centre D i angle 60º són alineats.

La imatge de C és B.

La imatge de F és E

La imatge de A és un punt equidistant de A i de D per tant està en la recta mediatriu de la recta AD que és la recta BE.

Per tant els tres punts A, F, C estan alineats.

Amb Cabri:

Figura `prob1.fig`

Applet created on 9/12/07 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina anterior