Problemes de Geometria

Girona 2009

Problema 1. Un quadrat i dos triangles equilàters ABDE és un quadrat; DEF i BCD són dos triangles equilàters. Demostreu que els punts A, F et C són alineats. Construcció Solució
Problema 2: Un quadrat, un triangle equilàter i un cercle Un triangle equilàter està dibuixat al defora del costat superior del quadrat ABCD de costat 1 com mostra la figura. Si una circumferència passa pels punts A, B i E. Quin és el radi del cercle. Construcció Solució
Problema 3: Resolució de triangles a) Resoleu el triangle coneguts . b) Resoleu el triangle coneguts . Construcció Solució
Problema 4: propietat de l’ortocentre Siga el triangle acutangle . Siguen , , les altures del triangle. Siga H l’ortocentre. Demostreu que . Construcció Solució
Problema 5: Relació entre les altures i radi de la circumferència inscrita d’un triangle Considerem el triangle , siga r el radi de la circumferència inscrita. Siguen les 3 altures del triangle. Aleshores: . Construcció Solució
Problema 6: Heptàgon regular Siga ABCDEFG un heptàgon regular. Proveu que Construcció Solució
Problema 7: Quadrilàter inscriptible En una circumferència C donada, hi inscrivim un quadrilàter, les diagonals del qual són perpendiculars. Proveu que, siga quin siga el quadrilàter inscrit de diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos costats oposats és constant i igual al quadrat del diàmetre de la circumferència. Construcció Solució
Problema 8: Problema Sangaku En la següent figura el costat del pentàgon regular mesura 1cm. Calculeu la proporció entre els radis dels dos tipus de circumferències. Proveu que és . Construcció Solució
Problema 9: Quadrat i pentàgon Determineu l’àrea del pentàgon MCNQP de la figura 4 , limitat per les rectes BC, CD, AN, AM, BD, tal que ABCD són els vèrtexs d’un quadrat, N és el punt mig de i M divideix el segment en raó 2:1 (calculant a partir del vèrtex C), si el costat del quadrat ABCD és a. Noteu que . Construcció Solució
Problema 10: nombre d’or Siga el triangle equilàter . Siguen L, M els punts migs dels segments AB, AC, respectivament. Siga C1 la circumferència circumscrita al triangle . La recta que passa pels punts L, M talla la circumferència C1 en els punts X, Y. Proveu que . Construcció Solució

Pàgina inicial