Problema 7: Quadriląter inscriptible

En una circumferčncia C donada, hi inscrivim un quadriląter, les diagonals del qual són perpendiculars.

Proveu que, siga quin siga el quadriląter inscrit de diagonals perpendiculars, la suma dels quadrats de dos

costats oposats és constant i igual al quadrat del diąmetre de la circumferčncia.

Solució de Ricard Peiró.

Siga la circumferčncia c de radi R.

Siga el quadriląter ABCD inscrit en la circumferčncia tal que i són

perpendiculars les quals es tallen en el punt O.

Aplicant el teorema de Pitągores als triangles rectangles , :

.

.

Sumant les dues expressions:

(1)

Aplicant el teorema de Pitągores als triangles rectangles , :

.

.

Sumant les dues expressions:

(2)

Aleshores:

.

Vegem quan val la constant.

Siga , .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

. Aleshores,

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

. Aleshores,

.

Aleshores, .

Amb Cabri

Figura `prob7.fig`

Applet created on 31/12/08 by Ricard Peiró with CabriJava

Pągina anterior