Problemes d’optimització.
1. Determineu dos nombres reals que
sumen N i que el producte siga màxim.
2. De tots els rectangles de perímetre
P determineu les mesures del que tinga àrea màxima.
3. De tots els triangles isòsceles
inscrits en una circumferència de radi R, calculeu el de major àrea.
4. Partim un cordell de longitud L en
dos trossos i amb cada tros construïm un quadrat i un cercle. De quina manera
ho hem de fer a fi que la suma de les àrees del quadrat i del cercle siga mínima.
5. De tots els rectangles de perímetre
P determineu el que tinga mínima diagonal.
6. De tots els sectors circulars de
perímetre P determineu el que tinga màxima àrea.
7. De tots els trapezis isòsceles
circumscrits a una circumferència de radi R determineu el d’àrea mínima.
8. De tots els rectangles inscrits en
una semicircumferència de radi R determineu el de major àrea. (Un costat està
en el diàmetre).
9. De tots els triangles isòsceles
circumscrits a un circumferència de radi R determineu el d’àrea mínima.
10. La secció d’un túnel té forma de
rectangle acabat per dalt en forma de semicercle.
Determineu
el radi del semicercle a fi que l’àrea de la secció siga
màxima.
11. Determineu de tots els trapezis,
inscrits en una circumferència de radi R, tal que una de les seues bases és un
diàmetre, el d’àrea màxima.
12. La corda AB està allunyada del
centre O d’una circumferència de centre O i de radi R una distància h=OX. En el menor dels dos segments formats per la corda AB s’inscriu
un rectangle. Determineu el d’àrea màxima.
13. Inscriviu en un triangle rectangle
un rectangle que tinga amb el primer l’angle recte
comú. Quin de tots els rectangles té àrea màxima?.
14. Els costats laterals i una de les
bases d’un trapezi són iguals a m. Determineu l’altre costat del que té àrea
màxima.
15. Siguen els
punts A, B d’una circumferència Determineu el punt C de la circumferència tal
que el producte AB·BC siga
màxim.
16. Determineu el rectangle d’àrea
màxima inscrit en un triangle isòsceles de base a
i de costats iguals b.
17. Dos passadissos d’amplària a i b respectivament
formen un angle recte. Si duem una barra horitzontalment. Quina ha de ser la
màxima longitud d’aquesta barra a fi que puga passar d’un passadís a l’altre.
18. Sobre els costats d’un rectangle de
perímetre p es dibuixen 4 semicercles exteriors
al rectangle. Determineu les dimensions que ha de tindre el rectangle a fi que
l’àrea de la figura resultant siga mínima.
19. Dividim un fil d’aram de longitud m en dos trossos. En el primer tros formem un triangle
equilàter i en l’altre un quadrat. Determineu les longituds dels trossos a fi
que la suma de les àrees del triangle i del quadrat siga
mínima.
20. Un pal vertical de longitud b està situat verticalment a una altura a.
En
quin punt de l’horitzontal m’hauré de situar per veure el pal amb un angle de
visió màxim.
21.
Quines mesures té el rectangle d’àrea màxima inscrit en un quadrant de
cercle de radi r.
22.
Un estel de 4 puntes està construït amb triangles isòsceles que
descansen sobre un quadrat. Quina forma ha de tenir l’estel a fi que la seua
àrea siga màxima per a un perímetre fix donat.
23.
De tots els triangles ABC de costat
AB=c, i mitjana que passa pel vèrtex A
AM=m quin és el que té àrea màxima.
24.
Una corda AB d’una circumferència mesura el mateix que el radi. Determineu
la corda CD és paral·lela a la corda AB tal que el trapezi ABCD tinga àrea màxima.
25.
En un triangle equilàter ABC de costat a
determineu el segment mínim que uneix dos costats del triangle i divideix el
triangle en dues parts d’igual àrea.
26.
Determineu el rectangle d’àrea màxima d’entre
els que tenen els vèrtexs situats entre dues circumferències concèntriques de
radis R i r.
27.
Determineu el rectangle d’àrea màxima circumscrit a un rectangle de
costats a, b.
28.
Determineu el triangle d’àrea màxima dels que tenen dos vèrtexs sobre
una circumferència de radi R i l’altre vèrtex és el centre de la
circumferència.
29. Partim un cordell de longitud l en dos trossos i amb cada tros construïm un quadrat.
De quina manera ho hem de fer a fi que la suma de les àrees dels quadrats siga mínima.
30. Partim un cordell de longitud l en dos trossos i amb cada tros construïm un hexàgon
regular i amb l’altre un triangle equilàter. De quina manera ho hem de fer a fi
que la suma de les àrees de l’hexàgon regular i del triangle equilàter siga mínima.
31. Determineu de tots els trapezis que
tenen 3 costats iguals a a
quin és el de major àrea.
32. De tots els triangles isòsceles
circumscrits en un semicercle de radi R
determineu el de menor perímetre.
Calculeu
també la raó entre l’altura del triangle (sobre el costat desigual) i el radi R.
33. Determineu el triangle isòsceles tal
que la raó entre els radis de les circumferències inscrita i circumscrita siga màxima.
34. Siga un
triangle qualsevol ABC. Sobre les prolongacions dels costats AB, AC s’agafen
les distàncies BD, CE de manera que la suma d’aquestes siga
igual al costat BC. Quina és la distància mínima entre DE.
35. Siga un
triangle rectangle ABC A=90º. Calculem la proporció entre el radi de la
circumferència inscrita i el radi de la circumferència circumscrita Quant
mesuren els angles aguts a fi que la proporció entre els radis siga màxima.
36. Es considera una circumferència de
radi R centrada a l’origen. Des d’un punt P situat a l’eix d’abscisses i
exterior a la mateixa, es tracen les tangents a la circumferència. Determineu
les coordenades del punt P, tal que el triangle format pels dos punts de
tangència i l’origen de coordenades tinga àrea
màxima.
37. De tots els deltoides ABCD (cometes)
de costats constants a=AB=BC, b=CD=DA
a)
quin és el d’àrea màxima.
b)
quin és el cercle inscrit d’àrea màxima.
38. Problema Sangaku.
En
els vèrtexs de la diagonal menor d’un rombe de costat c, s’ha dibuixat un
quadrat (els vèrtexs de la diagonal menor del rombe són els vèrtexs oposats del
quadrat).
De
tots els possibles rombes determineu el costat del quadrat que fa màxima la
diferència entre les àrees del rombe i del quadrat.
39. En un quadrat ABCD dibuixem la
diagonal AC.
La
recta paral·lela al costat AB forma dos triangles oposats pel vèrtex interiors
al quadrat.
La
recta talla el costat AD en T.
Determineu
el punt T que fa mínima la suma de les àrees dels dos triangles.
40. Siga el
triangle ABC de costats fixs AC, BC, i angle variable
C.
Siga M el punt mig de AC i N el
punt mig de BC.
Siga O el centre del quadrat de
costat AB exterior al triangle.
Determineu
el valor de l’angle C tal que la suma de les distàncies OM, ON siga màxima.
41. Siga el
triangle rectangle ABC, A=90º.
Determineu
el punt D de la hipotenusa tal que la distància de les projeccions de D sobre
els catets siga mínima.
42. Siga P un punt
sobre el costat AB del triangle ABC.
Des
del punt P es tracen paral·leles als altres costats que tallen els costats AC,
BC en els punts Q, R.
Determineu
on hem de situar el punt P a fi que l’àrea del quadrilàter CQPR tinga àrea màxima.
43. Donats els punts A, B i una recta.
Determineu
el punt P sobre la recta tal que AP2+BP2 siga mínim.
44. La base d’un triangle
isòsceles és c i l’altura és h. Determina el punt sobre l’altura
de forma que la suma de les
distàncies d’aquest punt als vèrtexs siga mínima.
45. Una finestra rectangular acaba
formant un triangle equilàter a la part superior.
Si el
perímetre de la finestra és p, determineu les
dimensions de la finestra a fi que l’àrea siga
màxima.
46. Donada una circumferència de radi r, determineu un rectangle d’àrea màxima tal que una
base siga
tangent
a la circumferència i el costat oposat corda de la circumferència.
47. De tots els triangles de costat a fix i perímetre p
fix, determineu el d’àrea màxima.
48. De tots els rectangles inscrits en
una semicircumferència de radi r determineu el de
major perímetre.
(Un
costat del rectangle està en el diàmetre).
49. Un quadrat de diagonal d es talla per la diagonal en dos parts.
Si
movem un dels triangles sobre l’altra diagonal, calculeu en quin punt del
trasllat fa que l’àrea superposada siga màxima.
Quina
és l’àrea màxima
50. Els costats d’un rectangle mesuren a, b.
A
partir de cada vèrtex i en el mateix sentit, tracem sobre cada costat una
longitud x.
Determineu
aquesta longitud, a fi que, unint els quatre punts determinats, el
paral·lelogram que es forma tinga àrea mínima.
51. La base menor d’un trapezi isòsceles
mesura a i els costats iguals b.
Determineu
la base major del trapezi d’àrea màxima.
52. Siguen els
segments paral·lels AB, CD.
Siga P un punt interior del
segment BC.
La
recta AP talla la recta CD en el punt E.
On es
troba el punt P que fa mínima la suma de les àrees dels triangles APB i CPE.
53. Siga el
triangle rectangle isòsceles ABC B=90º de catet constant.
Siga el punt A1 del catet AB, B1
del catet BC i C1 de la hipotenusa AC, tal que els
triangles
ABC, A1B1C1 són semblants.
Determineu
la mínima mesura del segment A1B1 en funció del catet. KöMaL,
B4548. maig 2013.
54. Siga el
triangle rectangle ABC A=90º de catets constants.
Siga el punt M del catet AB i el
punt N de la hipotenusa BC tal que MN és perpendicular a AB.
Determineu
el valor de AM a fi que l’àrea del triangle CMN siga
màxima.
55. Siga el triangle
isòsceles ABC, AC=BC de costats coneguts.
Siga M el punt mig del costat AB.
Siga P en l’altura CM
Determineu
el valor de MP tal que la suma de les distàncies de P
als
vèrtexs del triangle siga mínima.
56.
Un rectangle ABCD, AB=a, BC=b .
Siga E un punt del costat AD.
La
recta r paral·lela al costat AB que passa per E talla la diagonal AC formant
dos triangles
en
l’interior del rectangle
Determineu
el valor de AE tal que la suma de les àrees dels triangles siga mínima.
57.
Determineu l’àrea màxima d’un rectangle tal que un costat és tangent a
una circumferència
de radi r i els vèrtexs del costat paral·lel pertanyen a la circumferència
58. Els costats
Siguen E, F punts dels costat BC,
CD, respectivament tal que BE=CF=x.
Determineu
el valor x que fa mínima l’àrea del triangle AEF.
59.
En un quadrant de circumferència de centre A i radi r i arc BR s’ha inscrit un
trapezi
ABCD.
Determineu
el valor de l’angle BAC tal que la l’àrea del trapezi siga
màxima.
60.
Determineu el triangle ABC de base c=AB i altura hc=CH
que té perímetre mínim.
61. Donat el triangle rectangle OAB, O(0, 0) A(a, 0) B(0, b) determineu el pendent de la
recta que passa per O
i fa
màxima la suma de les distàncies dels vèrtexs A i B a la recta.