20 Problemes Olímpics

Introducció

Enunciats

Solucions

Teoria

Guies

Adreces

Teoria: Triangles rectangles

Teorema de Tales

Si dues rectes secants r, s són tallades per dues o més paral·leles a, b, c... els segments

que determinen sobre una de les secants són proporcionals als segments que determinen en

l’altra secant.

a)

També s’acompleix:

b) c)

Figura triangles2a1.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Triangles semblants.

Dos triangle són semblants (ho representarem per ) si tenen els costats

corresponents iguals i els costats corresponents proporcionals.

És a dir, i

Figura triangles2a2.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Criteris de semblança de triangles.

Siguen els triangles .

Criteri 1.

Si , aleshores,

És a dir, dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats corresponents que formen

l’angle proporcionals.

Criteri 2.

Si , aleshores,

És a dir, dos triangles són semblants si tenen dos angles corresponents iguals.

Criteri 3.

Si , aleshores,

Dos triangles són semblants si tenen els tres costats corresponents proporcionals.

Teorema de Pitàgores

Siga el triangle rectangle , d’hipotenusa a i catets b, c

Aleshores,

Figura triangles2b1.fig

Applet created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Pàgina dels Elements d’Euclides

Figura pitagoreseuclides.fig Demostració d’Euclides

Applet created on 13/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Demostració japonesa del teorema de Pitàgores.

Figura pitagoresjapo.fig

Applet created on 13/04/11 byRicard Peiró with CabriJava

Generalització del teorema de Pitàgores:

L’àrea de la figura construïda sobre la hipotenusa és la mateixa que la suma de les àrees de les figures

semblants construïdes sobre els catets.

Exemple amb hexàgons regulars construïts sobre els costats del triangle rectangle.

Figura triangles2b2.fig

Applet created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema invers del teorema de Pitàgores:

Siga un triangle tal que .

Aleshores el triangle és rectangle i l’angle .

Figura triangles2c.fig

Applet created on 8/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Teorema de l’altura i del catet en un triangle rectangle.

Siga el triangle rectangle ,

Siga l’altura sobre la hipotenusa.

Siga la projecció del catet c sobre la hipotenusa.

Siga la projecció del catet b sobre la hipotenusa.

Aleshores,

a) Teorema de l’altura.

b) Teorema del catet.

c) Teorema del catet.

Figura triangles2e1.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Propietats de triangles rectangles:

a) Un triangle és rectangle si i només si la mitjana sobre el costat major mesura la meitat d’aquest costat.

Figures triangles2d1.fig, triangles2d2.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

b) Un triangle és rectangle si i només si .

Raons trigonomètriques d’un angle agut.

Considerarem el triangle rectangle on

Recordem que en qualsevol triangle rectangle es complia el teorema de Pitàgores:

Siga

Definim sinus de l’angle i ho representem per sin

Definim cosinus de l’angle i ho representem per cos

Definim tangent de l’angle i ho representem per tg

Figura triangles2f1.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Nota: Pel teorema de Tales, les raons trigonomètriques de l’angle no depenen del triangle

rectangle escollit.

Figura triangles2f2.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Relacions fonamentals entre les raons trigonomètriques.

Donat un angle es compleixen les següents relacions:

Figura triangles2f3.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.

Considerem la circumferència de centre que té radi 1

(circumferència goniomètrica).

Siga .

Siga el punt Q(x,y) de la circumferència

Considerem l’angle .

Definim:

Figura triangles2g1.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Les raons trigonomètriques compleixen les fórmules fonamentals:

Reducció al primer quadrant:

Figura triangles2g2.fig

Applet created on 6/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

Relacions angles segon i primer quadrant (suplementaris)

, ,

Relacions angles tercer i primer quadrant (difereixen en 180º)

, ,

Relacions angles quart i primer quadrant (oposats)

, ,

Reducció al primer octant.

Relacions angles segon i primer octant (complementaris)

, .

Propietat de triangles i raons trigonomètriques:

En un triangle qualsevol ,

Figura triangles2h.fig

Applet created on 7/04/11 by Ricard Peiró with CabriJava

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Enunciats