Problema 43
En cadascuna de les mitjanes d’un triangle hem agafat un
punt que divideix la mitjana en la raó 5:1 contant des del vèrtex. Calculeu
l’àrea del triangle determinat pels punts anteriors si l’àrea del triangle
inicial és 64cm2.
Solució:
Considerem el triangle 
. Siguen les mitjanes 
Siguen
els punts D, E, F tal que 
, 
, 
.
Siga G el baricentre del triangle . Per la propietat del baricentre: 
Vegem que els triangles i 
són homotètics i G és
el centre d’homotècia:
. Anàlogament, 
, 
.
Aleshores el triangles són homotètics, G és el centre
d’homotècia i la raó 
.
Per tant la raó de semblança de les àrees dels triangles i és 
. Per tant,
. Aleshores, 
.
Amb Cabri:
Figura problema043.fig
Applet created on 22/04/06 by Ricard Peiró with
CabriJava